Question

（2011•新余二模）18、在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（1）求证：BC⊥平面PBD；
（2）设E为侧棱PC上一点，

PE

=λ

PC

，试确定λ的值，使得二面角E-BD-P的大小为45°．

Answer 1

分析：（1）由题设条件可证得DP，DA，DC三线两两垂直，故可以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，按题中所给的条件，给出各点的坐标，求出直线BC的方向向量以及平面PBD的法向量，由数量积为0证明线面垂直．
（2）由（1）中的坐标系，及E为侧棱PC上一点，

PE

=λ

PC

，给出用参数表示的点E的坐标，求出两个平面EBD与平面PBD的法向量，由公式用参数表示出二面角的余弦值，再令其值是45°的余弦值，解出其参数值即可．

解答：解：（1）证明：平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，所以PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥AD．如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz．
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1）（6分）

DB

=(1，1，0)，

BC

=（-1，1，0）．
所以

BC

•

DB

=0，BC⊥DB，
又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，又BD∩PD=D
所以BC⊥平面PBD．（8分）
（2）平面PBD的法向量为

BC

=（-1，1，0），

PC

=(0，2，-1)，

PE

=λ

PC

，λ∈（0，1），所以E（0，2λ，1-λ），
设平面QBD的法向量为n=（a，b，c），

DB

=(1，1，0)，

DE

=（0，2λ，1-λ）
由n•

DB

=0，n•

DQ

=0，得所以，

a+b=0 2λb+(1-λ)c=0

∴

n

=(-1，1，

2λ

λ-1

)，（10分）
由cos

π

4

=

n •B C

| n ||B C |

解得λ=

2

-1（12分）
（用传统方法解得答案酌情给分）

点评：本题考查二面角的平面角的求法，本题解答用的是向量法，求解此类题，关键是掌握住向量公式与所求解问题的对应，建立合适的空间坐标系可以大大降低运算的难度，此种做法运算量较大，解题时要认真严谨，避免运算出错，导致解题失败．