Question

（2011•新余二模）已知函数f(x)=

3

sinωx+cos(ωx+

π

3

)+cos(ωx-

π

3

)-1（ω＞0，x∈R），且函数f（x）的最小正周期为π．
（1）求函数f（x）的解析式并求f（x）的最小值；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=1，

BA

•

BC

=

9

2

，且a+c=3+

3

，求边长b．

Answer 1

分析：（1）利用两角和与差的余弦函数公式把f（x）化简合并后，前两项提取2，利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，利用周期公式即可求出ω的值，代入即可确定出f（x）的解析式，根据正弦函数的值域进而求出f（x）的最小值；
（2）根据（1）中求出的f（x）的解析式，利用f（B）=1，即可求出B的度数，然后根据平面向量的数量积的运算法则化简已知的

BA

•

BC

=

9

2

，把B的度数代入即可求出ac的值，根据余弦定理表示出b的平方，变形后把a+c及ac的值代入即可求出b的值．

解答：解：（1）f(x)=

3

sinωx+cosωx-1=2sin(ωx+

π

6

)-1，
由

2π

ω

=π得ω=2，
所以f(x)=2sin(2x+

π

6

)-1，
所以x=kπ-

π

3

(k∈Z)时，f(x)min=-3；
（2）由f（B）=1得2sin(2B+

π

6

)-1=1，解得B=

π

6

，
又由

BA

•

BC

=

9

2

知accosB=

9

2

，所以ac=3

3

，
由余弦定理知：
b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-2accosB
=(3+

3

)2-2×3

3

-2×3

3

×

3

2

=3
所以b=

3

．

点评：此题考查学生灵活运用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简求值，掌握正弦函数的周期公式及值域，掌握平面向量的数量积的运算法则，灵活运用余弦定理化简求值，是一道中档题．