Question

已知函数．
（I）若a＞1，求函数y=f（x）的单调区间；
（II）若函数h（x）=f（x）+g（x）有三个极值点，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）先对函数求导，分别令f′（x）＞0，f′（x）＜0解不等式可求得函数的单调区间
（II）h（x）=f（x）+g（x）有三个极值点?h′（x）=x³-3x+6a有三个不同的实数根，构造函数∅（x）=x³-3x+6a，通过研究∅′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）判断函数∅（x）的单调区间，进一步可求函数的极值，从而可求a的范围
解答：解：（I）对函数求导可得，f′（x）=x³-2ax²-3x+6a=
∵a＞1∴
令f′（x）＞0可得；f′（x）＜0可得
函数的单调增区间，单调减区间
（II）h（x）=f（x）+g（x）=有三个极值点
∴h′（x）=x³-3x+6a有三个不同的实数根
令∅（x）=x³-3x+6a，则∅′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）
当x＜-1时，∅′（x）＞0，∅（x）在（-∞，-1）上单调递增
当-1＜x＜1，∅′（x）＜0，∅（x）在（-1，1）上单调递减
当x＞1时，，∅′（x）＞0，∅（x）在（1，+∞）上单调递增
函数在x=-1时取得极大值6a+2，在x=1时取得极小值6a-2
∴  解可得
点评：本题主要考查了导数的基本运用，求解函数的单调区间及函数的极值，而通过单调区间及极值的研究求解参数的取值范围是导数部分的重要类型的试题