Question

11．设函数y=f（x）图象上不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）处的切线的斜率分别是k_A，k_B，规定φ（A，B）=$\frac{{|{k_A}-{k_B}|}}{|AB|}$（|AB|为线段AB的长度）叫做曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：
①函数y=x³图象上两点A与B的横坐标分别为1和-1，则φ（A，B）=0；
②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；
③设点A，B是抛物线y=x²+1上不同的两点，则φ（A，B）≤2；
④设曲线y=e^x（e是自然对数的底数）上不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则φ（A，B）＜1．
其中真命题的序号为①②③④．（将所有真命题的序号都填上）

Answer 1

分析 由新定义，利用导数逐一求出函数y=x³、y=x²+1在点A与点B之间的“弯曲度”判断①、③；举例说明②正确；求出曲线y=e^x上不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）之间的“弯曲度”，然后结合不等式的性质，即可判断④．

解答 解：对于①，由y=x³，得y′=3x²，
则k_A=3，k_B=3，则|k_A-k_B|=0，则φ（A，B）=0，故①正确；
对于②，如y=1时，y′=0，则φ（A，B）=0，故②正确；
对于③，抛物线y=x²+1的导数为y′=2x，y_A=x_A²+1，y_B=x_B²+1，
y_A-y_B=x_A²-x_B²=（x_A-x_B）（x_A+x_B），
则φ（A，B）=$\frac{{|{k_A}-{k_B}|}}{|AB|}$=$\frac{|2{x}_{A}-2{x}_{B}|}{\sqrt{（{x}_{A}-{x}_{B}）^{2}+（{y}_{A}-{y}_{B}）^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{1+（{x}_{A}+{x}_{B}）^{2}}}$≤2，故③正确；
对于④，由y=e^x，得y′=e^x，φ（A，B）=$\frac{|{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}|}{\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}}$，
由不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得φ（A，B）＜$\frac{|{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}|}{\sqrt{0+（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}}$=1，
故④正确．
故答案为：①②③④

点评 本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，考查了函数恒成立问题，关键是对题意的理解．