Question

已知偶函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（2）=0，则不等式f[log₂（x²+5x+4）]≥0的解为

 

．

Answer 1

分析：由题意得，f（-2）=f（ 2）=0，由偶函数f（x）在[0，+∞]上是增函数，得到f（x）在（-∞，0）上是减函数，所以f[log₂（x²+5x+4）]≥0即log₂（x²+5x+4）≥2 ①或log₂（x²+5x+4）≤-2 ②，解此不等式即可求得结果．

解答：解：因为f（x）是偶函数，所以f（-2）=f（ 2）=0．
又f（x）在[0，+∞]上是增函数，所以f（x）在（-∞，0）上是减函数．
所以f[log₂（x²+5x+4）]≥0即log₂（x²+5x+4）≥2①或log₂（x²+5x+4）≤-2 ②，
解①得 x≥0或x≤-5，解②得

-5- 10

2

≤x＜-4或-1＜x≤

-5+ 10

2

，
所以不等式的解集为{x|x≤-5或

-5- 10

2

≤x＜-4或-1＜x≤

-5+ 10

2

或x≥0}．
故答案为{x|x≤-5或

-5- 10

2

≤x＜-4或-1＜x≤

-5+ 10

2

或x≥0}

点评：此题是个中档题．本题考查函数的单调性和奇偶性的应用，函数的特殊点，关键是把所以f[log₂（x²+5x+4）]≥0即log₂（x²+5x+4）≥2 ①或log₂（x²+5x+4）≤-2 ②，注意对数函数的定义域．