Question

正四面体ABCD（六条棱长都相等）的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．（0，1）

Answer 1

【答案】分析：首先想象一下，当正四面体绕着与平面平行的一条边转动时，不管怎么转动，投影的三角形的一个边始终是AB的投影，长度是1，而发生变化的是投影的高，体会高的变化，得到结果．，投影面积最大应是线段AB相对的侧棱与投影面平行时取到，投影面的最小值应在正四面体的一面与投影面垂直时取到．
解答：解：由题意当线段AB相对的侧棱与投影面平行时投影最大，此时投影是关于线段AB对称的两个等腰三角形，
由于正四面体的棱长都是1，故投影面积为×1×1=
当正四面体的与AB平行的棱与投影面垂直时，此时投影面面积最小，
此时投影面是一个三角形，其底面边长为线段AB的投影，长度为1，
此三角形的高是AB，CD两线之间的距离，
取CD的中点为M，连接MA，MB可解得MA=MB=，
再取AB中点N，连接MN，此线段长度即为AB，CD两线之间的距离，可解得MN=，
此时投影面的面积是 ××1=，
故投影面的取值范围是[，]
故选：B
点评：本题考查平行投影及平行投影作图法，本题是一个计算投影面积的题目，注意解题过程中的投影图的变化情况，本题是一个中档题．