Question

在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，三棱锥B₁-ABC为正四面体，则直线AD₁与平面ACC₁A₁所成角的正弦值为

6

6

．

Answer 1

分析：根据平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，三棱锥B₁-ABC为正四面体，可得该几何体各棱及每个面的较短的对角线均相等，进而由正四面体的几何特征还可得到四棱锥B₁-ACC₁A₁和四棱锥D-ACC₁A₁均为正四棱锥，连接B₁D交平面ACC₁A₁于O，延长A₁A至E，使A₁A=AE，连接AD₁，DE，可得∠OED即为直线AD₁与平面ACC₁A₁所成角，解△OED可得答案．

解答：解：∵平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，三棱锥B₁-ABC为正四面体，
故B₁C=B₁A=B₁A₁=B₁C₁，即四棱锥B₁-ACC₁A₁为正四棱锥，
同理，四棱锥D-ACC₁A₁也为正四棱锥，
连接B₁D交平面ACC₁A₁于O，则O即为D在平面ACC₁A₁上的射影
延长A₁A至E，使A₁A=AE，连接AD₁，DE，
则DE∥AD₁，
则∠OED即为直线AD₁与平面ACC₁A₁所成角
设平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁各棱长均为a
在Rt△OED中，OD为棱长均为a的正四棱锥的高，故OD=

a2-( 2 a 2 )2

=

2

2

a，
OE=

( a 2 )2+( 3a 2 )2

=

10

2

a，
DE=

OD2+OE2

=

3

a
∴sin∠OED=

OD

DE

=

2 2 a

3 a

=

6

6

故答案为：

6

6

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中根据已知条件，结合正四面体的几何特征，分析出∠OED即为直线AD₁与平面ACC₁A₁所成角，将线面夹角问题转化为解三角形问题是解答的关键．