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    【题目】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面垂直于和，是棱的中点.

    (Ⅰ)求证：平面；

    (Ⅱ)求二面角的正弦值；

    (Ⅲ)在线段上是否存在一点使得与平面所成角的正弦值为若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.

    【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)(Ⅲ)答案见解析.

    【解析】

    (Ⅰ)建立空间直角坐标系，由直线的方向向量和平面的法向量的关系即可证得线面平行；

    (Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论进一步求得两个半平面的法向量，首先确定二面角的余弦值，然后求解二面角的正弦值即可；

    (Ⅲ)设出点的坐标，由线面角夹角的正弦值公式计算可确定满足题意的点N是否存在.

    (Ⅰ)以A点为坐标原点，方向分别为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则：，，

    故，设平面SCD的法向量为，则：

    ，

    据此可得平面SCD的一个法向量为，

    且，据此可得，平面,则平面.

    (Ⅱ)设平面的法向量为，则：

    ，

    据此可得平面的一个法向量,

    二面角的平面角大小为，易知：

    .

    (Ⅲ)假设存在满足题意的点N，且：，

    设点N的坐标为，据此可得：，

    由对应坐标相等可得，

    故，由于平面SAB的一个法向量，

    由题意可得：，

    解得：，

    据此可得存在满足题意的点N，且的值为.

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