【题目】如图，在四棱锥
中，底面
是直角梯形，侧棱
底面
垂直于
和
，
是棱
的中点.
(Ⅰ)求证：
平面
；
(Ⅱ)求二面角
的正弦值；
(Ⅲ)在线段
上是否存在一点
使得
与平面
所成角的正弦值为
若存在，请求出
的值，若不存在，请说明理由.
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)
(Ⅲ)答案见解析.
【解析】
(Ⅰ)建立空间直角坐标系，由直线的方向向量和平面的法向量的关系即可证得线面平行；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论进一步求得两个半平面的法向量，首先确定二面角的余弦值，然后求解二面角的正弦值即可；
(Ⅲ)设出点的坐标，由线面角夹角的正弦值公式计算可确定满足题意的点N是否存在.
(Ⅰ)以A点为坐标原点，
方向分别为
轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则：
，
，
故
，设平面SCD的法向量为
，则：
，
据此可得平面SCD的一个法向量为
，
且
，据此可得
，
平面
,则
平面.
(Ⅱ)设平面
的法向量为
，则：
，
据此可得平面的一个法向量
,
二面角
的平面角大小为
，易知：
.
(Ⅲ)假设存在满足题意的点N，且：
，
设点N的坐标为
，据此可得：
，
由对应坐标相等可得
，
故
，由于平面SAB的一个法向量
，
由题意可得：
，
解得：
，
据此可得存在满足题意的点N，且
的值为
.
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【题目】已知
，点
满足
，记点的轨迹为
.斜率为
的直线
过点
，且与轨迹相交于
两点.
（1）求轨迹的方程；
（2）求斜率的取值范围；
（3）在
轴上是否存在定点
，使得无论直线绕点怎样转动，总有
成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由.
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【题目】已知抛物线
的焦点为
，直线
与
轴的交点为
，与
的交点为
，且
．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设过定点
的直线
与抛物线交于
，
两点，连接
并延长交抛物线的准线于点
，当直线
恰与抛物线相切时，求直线
的方程．
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【题目】如图1，在边长为2的菱形
中，
，
于点
，将
沿
折起到
的位置，使
，如图2.
（1）求证：
平面
；
（2）在线段
上是否存在点
，使平面
平面
？若存在，求
的值；若不存在，说明理由．
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【题目】已知函数f(x)＝4cos ωx·sin
＋a(ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求a和ω的值；
(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间.
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【题目】已知a∈R，命题p：“x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
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【题目】设椭圆
的左、右顶点分别为
，
，且左、右焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，点
在椭圆上，过点的直线交椭圆
于
轴上方的点
，交直线
于点
.直线
与椭圆的另一交点为
，直线
与直线
交于点
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若
，试求直线的方程；
（3）如果
，试求
的取值范围.
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