【题目】如图,在四棱锥中,底面
是直角梯形,侧棱
底面
垂直于
和
,
是棱
的中点.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求二面角的正弦值;
(Ⅲ)在线段上是否存在一点
使得
与平面
所成角的正弦值为
若存在,请求出
的值,若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)(Ⅲ)答案见解析.
【解析】
(Ⅰ)建立空间直角坐标系,由直线的方向向量和平面的法向量的关系即可证得线面平行;
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论进一步求得两个半平面的法向量,首先确定二面角的余弦值,然后求解二面角的正弦值即可;
(Ⅲ)设出点的坐标,由线面角夹角的正弦值公式计算可确定满足题意的点N是否存在.
(Ⅰ)以A点为坐标原点,方向分别为
轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则:
,
,
故,设平面SCD的法向量为
,则:
,
据此可得平面SCD的一个法向量为,
且,据此可得
,
平面
,则
平面
.
(Ⅱ)设平面的法向量为
,则:
,
据此可得平面的一个法向量
,
二面角的平面角大小为
,易知:
.
(Ⅲ)假设存在满足题意的点N,且:,
设点N的坐标为,据此可得:
,
由对应坐标相等可得,
故,由于平面SAB的一个法向量
,
由题意可得:,
解得:,
据此可得存在满足题意的点N,且的值为
.
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【题目】已知,点
满足
,记点
的轨迹为
.斜率为
的直线
过点
,且与轨迹
相交于
两点.
(1)求轨迹的方程;
(2)求斜率的取值范围;
(3)在轴上是否存在定点
,使得无论直线
绕点
怎样转动,总有
成立?如果存在,求出定点
;如果不存在,请说明理由.
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【题目】已知抛物线的焦点为
,直线
与
轴的交点为
,与
的交点为
,且
.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)设过定点的直线
与抛物线
交于
,
两点,连接
并延长交抛物线的准线于点
,当直线
恰与抛物线相切时,求直线
的方程.
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【题目】如图1,在边长为2的菱形中,
,
于点
,将
沿
折起到
的位置,使
,如图2.
(1)求证:平面
;
(2)在线段上是否存在点
,使平面
平面
?若存在,求
的值;若不存在,说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=4cos ωx·sin+a(ω>0)图象上最高点的纵坐标为2,且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求a和ω的值;
(2)求函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间.
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【题目】已知a∈R,命题p:“x∈[1,2],x2﹣a≥0”,命题q:“x∈R,x2+2ax+2﹣a=0”.
(1)若命题p为真命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.
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【题目】设椭圆的左、右顶点分别为
,
,且左、右焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点,点
在椭圆上,过点
的直线交椭圆
于
轴上方的点
,交直线
于点
.直线
与椭圆
的另一交点为
,直线
与直线
交于点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若,试求直线
的方程;
(3)如果,试求
的取值范围.
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