【题目】如图1,在边长为2的菱形中,,于点,将沿折起到的位置,使,如图2.
(1)求证:平面;
(2)在线段上是否存在点,使平面平面?若存在,求的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)存在,且
【解析】
(1),,由线面垂直的判定定理得到平面,从而有,又,再由线面垂直的判定定理证明。
(2)假设在线段上是否存在点,使平面平面,根据(1)建立空间直角坐标系,设,则,所以,若使平面平面,分别求得两个平面的法向量,再通过两个法向量数量积为零求解.
(1)证明:因为于点,
所以,
,,且,
平面,
,
平面.
(2)假设在线段上是否存在点,使平面平面.
根据(1)建立如图所示空间直角坐标系:
则,,
设,
则,所以,
所以,
设平面一个法向量为:,
则,即,
令,所以,
设平面一个法向量为:,
则,即,
令,所以,
因为平面平面,
所以,即
解得.
所以在线段上是否存在点,使平面平面,且.
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【题目】若数列对任意满足,下面给出关于数列的四个命题:①可以是等差数列,②可以是等比数列;③可以既是等差又是等比数列;④可以既不是等差又不是等比数列;则上述命题中,正确的个数为( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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【题目】如图, 是边长为3的正方形,平面,,,BE与平面所成角为.
(Ⅰ)求证:平面 ;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)设点M在线段BD上,且平面BEF,求的长.
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【题目】已知函数,,.
(1)当时,若对任意均有成立,求实数的取值范围;
(2)设直线与曲线和曲线相切,切点分别为,,其中.
①求证:;
②当时,关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面是直角梯形,侧棱底面垂直于和,是棱的中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求二面角的正弦值;
(Ⅲ)在线段上是否存在一点使得与平面所成角的正弦值为若存在,请求出的值,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=x3+bx2+cx-1,当x=-2时有极值,且在x=-1处的切线的斜率为-3.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)求函数f(x)在区间[-1,2]上的最大值与最小值.
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【题目】已知圆,直线,动圆P与圆M相外切,且与直线l相切.设动圆圆心P的轨迹为E.
(1)求E的方程;
(2)若点A,B是E上的两个动点,O为坐标原点,且,求证:直线AB恒过定点.
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【题目】已知椭圆的左顶点为,上顶点为,右焦点为,离心率为,的面积为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若为轴上的两个动点,且,直线和分别与椭圆交于两点.
(ⅰ)求的面积最小值;
(ⅱ)证明:三点共线.
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