【题目】如图, 是边长为3的正方形,
平面
,
,
,BE与平面
所成角为
.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)设点M在线段BD上,且平面BEF,求
的长.
【答案】(Ⅰ)见证明;(Ⅱ)(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论;
(Ⅱ)建立空间直角坐标系,利用平面的法向量可得二面角的余弦值;
(Ⅲ)结合(Ⅱ)中的结果和空间向量的结论求得点M的坐标即可求得的长.
(Ⅰ)因为平面
,所以
,
因为是正方形,所以
,
又BD,DE交于点E,从而平面
.
(Ⅱ)因为DA,DC,DE两两垂直,所以建立空间直角坐标系如图所示.
因为BE与平面所成角为
,即
所以.由
可知
,
则,
,
,
,
,
所以,
设平面BEF的法向量为,则
,
即,令
,则
因为平面
,所以
为平面
的法向量,
,
所以.
因为二面角为锐角,所以二面角的余弦值为
.
(Ⅲ)点M是线段BD上一个动点,设.则
,
因为平面BEF,所以
,
即,解得
.
此时,点M坐标为,
,符合题意.
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【题目】 下列结论错误的是
A. 命题:“若,则
”的逆否命题是“若
,则
”
B. “”是“
”的充分不必要条件
C. 命题:“,
”的否定是“
,
”
D. 若“”为假命题,则
均为假命题
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【题目】在如图所示的几何体中,四边形是正方形,四边形
是梯形,
∥
,
,平面
平面
,且
.
(Ⅰ)求证:∥平面
;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)已知点在棱
上,且异面直线
与
所成角的余弦值为
,求线段
的长.
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【题目】口袋里装有编号为1,2,3,4的四个小球,有放回的抽取两次,记录两次取到小球的编号分别为,
.奖励规则如下:
①若,则奖励玩具一个;
②若,则奖励水杯一个;
③其余情况奖励饮料一瓶.
小亮准备参加此项活动.
(Ⅰ)求小亮获得玩具的概率;
(Ⅱ)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.
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【题目】已知抛物线的焦点为
,直线
与
轴的交点为
,与
的交点为
,且
.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)设过定点的直线
与抛物线
交于
,
两点,连接
并延长交抛物线的准线于点
,当直线
恰与抛物线相切时,求直线
的方程.
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【题目】已知
(1)求的轨迹
(2)过轨迹上任意一点
作圆
的切线
,设直线
的斜率分别是
,试问在三个斜率都存在且不为0的条件下,
是否是定值,请说明理由,并加以证明.
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【题目】如图1,在边长为2的菱形中,
,
于点
,将
沿
折起到
的位置,使
,如图2.
(1)求证:平面
;
(2)在线段上是否存在点
,使平面
平面
?若存在,求
的值;若不存在,说明理由.
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【题目】(1)若关于x的不等式ax2﹣3x+2>0(a∈R)的解集为{x|x<1或x>b},求a,b的值;
(2)解关于x的不等式ax2﹣3x+2>5﹣ax(a∈R).
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