Question

【题目】已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，离心率为，的面积为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若为轴上的两个动点，且，直线和分别与椭圆交于两点．

（ⅰ）求的面积最小值；

（ⅱ）证明：三点共线．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）（ⅰ）2；

（ⅱ）证明过程见解析.

【解析】

（Ⅰ）根据离心率可以得到等式，由的面积为，又得到一个等式，结合，可以求出的值，这样就求出椭圆方程；

（Ⅱ）（ⅰ）设出两点坐标，根据，可以得到两点坐标之间的关系，求出的面积的表达式，利用基本不等式求出的面积最小值；

（ⅱ）直线的方程与椭圆方程联立，求出点坐标，同理求出的坐标，求出直线的斜率，根据两点坐标之间的关系，可以证明出直线的斜率相等，又过同一点，这样就可以证明三点共线．

（Ⅰ）由题意可知：，离心率为 ，

因为的面积为，所以而，

所以，因此，椭圆的方程为；

（Ⅱ）设，

,所以.

（ⅰ）设的面积为，，

，当且仅当时，取等号，所以的面积最小值为2；

（ⅱ）,直线的方程为：与椭圆的方程联立得

，

设所以有，，

设,同理求出，所以，

，所以，直线过同一点，斜率相等，所以三点共线．