Question

【题目】已知二次函数g（x）=mx2﹣2mx+n+1（m＞0）在区间[0，3]上有最大值4，最小值0．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）设f（x）= ．若f（2x）﹣k2x≤0在x∈[﹣3，3]时恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵g（x）=m（x﹣1）2﹣m+1+n
∴函数g（x）的图象的对称轴方程为x=1
∵m＞0依题意得 ，
即 ，
解得
∴g（x）=x2﹣2x+1，
（Ⅱ）∵
∴ ，
∵f（2x）﹣k2x≤0在x∈[﹣3，3]时恒成立，
即 在x∈[﹣3，3]时恒成立
∴ 在x∈[﹣3，3]时恒成立
只需
令 ，
由x∈[﹣3，3]得
设h（t）=t2﹣4t+1
∵h（t）=t2﹣4t+1
=（t﹣2）2﹣3
∴函数h（x）的图象的对称轴方程为t=2
当t=8时，取得最大值33．
∴k≥h（t）max=h（8）=33
∴k的取值范围为[33，+∞）
【解析】（Ⅰ）由题意得方程组解出即可，（Ⅱ）将f（x）进行变形，通过换元求出函数h（t）的最值，从而求出k的值．