Question

已知函数，（为常数）

（1）当时恒成立，求实数的取值范围；

（2）若函数有对称中心为A（1，0），求证：函数的切线在切点处穿过图象的充要条件是恰为函数在点A处的切线。（直线穿过曲线是指：直线与曲线有交点，且在交点左右附近曲线在直线异侧）

Answer 1

解：（1）设

所以

令：

所以：当时，在是增函数最小值为，满足。

      当时，在区间为减函数，在区间为增函数

所以：最小值，故不合题意。

所以：实数的取值范围是：             ┄┄┄┄┄┄┄ 6分

（2）因为关于A（1，0）对称，则是奇函数，所以

所以 ，则

若为A点处的切线则其方程为：

令，

所以为增函数，而所以直线穿过函数的图象。┄┄┄┄┄ 9分

若是函数图象在的切线，则方程：

设，

则

令得：

当时：

从而处取得极大值，而，

则当时，所以图象在直线的同侧

所在不能在穿过函数图象，

所以不合题意，同理可证也不合题意。

所以（前面已证）所以即为点。、

所以原命题成立。