Question

已知椭圆

x2

12

+

y2

4

=1及点M(-

3

2

，-

1

2

)，过点M作直线l交椭圆于P，Q两点．
（1）若M是弦PQ的中点，求直线PQ的方程；
（2）求证：以线段PQ为直径的圆恒过椭圆上一定点A，并求出定点A的坐标．

Answer 1

分析：（1）设出直线PQ的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合M是弦PQ的中点，即可求得结论；
（2）A在以PQ为直径的园上，则AP⊥AQ，于是向量的数量积

AP

?

AQ

=0，由此化简可得结论．

解答：（1）解：设过M的直线的方程为y=k（x+

3

2

）-

1

2

=kx+

3k-1

2

代入椭圆方程得：x²+3（kx+

3k-1

2

）²=12；展开化简得：
（1+3k²）x²+3k（3k-1）x+

27k2-18k-45

4

=0
即有（1+3k²）x²+3k（3k-1）x+

9(3k-5)(k+1)

4

=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

3k(3k-1)

1+3k2

∵M(-

3

2

，-

1

2

)是弦PQ的中点，
∴-

3k(3k-1)

1+3k2

=-3
∴k=-1
∴直线PQ的方程为y=-x-2，即x+y+2=0；
（2）证明：设A（m，n），A在椭圆上，其坐标满足椭圆方程，即

m2

12

+

n2

4

=1…（1）
如果A在以PQ为直径的园上，则AP⊥AQ，于是向量的数量积

AP

?

AQ

=0；
即

AP

?

AQ

=（x₁-m）（x₂-m）+（y₁-n）（y₂-n）=x₁x₂-m（x₁+x₂）+m²+y₁y₂-n（y₁+y₂）+n²
=

9(3k-5)(k+1)

4(1+3k2)

+

3mk(3k-1)

1+3k2

+m²+

-39k2-6k+1

4(1+3k2)

-

n(3k-1)

1+3k2

+n²=0
去分母得9（3k-5）（k+1）+12mk（3k-1）+4m²（1+3k²）+（-39k²-6k+1）-4n（3k-1）+4n²（1+3k²）=0
化简整理得（12m²+36m+12n²-12）k²-（12m+12n+24）k+4m²+4n²+4n-44=0
12（m²+3m+n²-1）k²-12（m+n+2）k+4（m²+n²+n-11）=0…（2）
令m²+3m+n²-1=0…（3）
m+n+2=0…（4）
m²+n²+n-11=0…（5）
（3）-（5）得3m-n+10=0…（6）
（4）+（6）得4m+12=0，故得m=-3；代入（5）式得n=1；
由此可见，当m=-3，n=1时，（2）是恒等式；而（-3，1）满足方程（1），即（-3，1）在椭圆上．
这就证明了无论直线的k为何值，以弦PQ为直径的圆一定过椭圆上的定点A（-3，1）．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查恒过定点问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．