Question

已知函数f（x）=|2x-1|+|x-2a|．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）≤3的解集；
（Ⅱ）当x∈[1，2]时，f（x）≤3恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=1时，由f（x）≤3，可得①

x＜ 1 2 1-2x+2-x≤3

，或②

1 2 ≤x＜2 2x-1+2-x≤3

，或 ③

x≥2 2x-1+x-2≤3

．分别求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ） 当x∈[1，2]时，f（x）≤3恒成立，即|x-2a|≤3-|2x-1|=4-2x，化简得3x-4≤2a≤4-x．再根据3x-4的最大值为2，4-x 的最小值2，可得2a=2，从而得到a的范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=1时，由f（x）≤3，可得|2x-1|+|x-2|≤3，
∴①

x＜ 1 2 1-2x+2-x≤3

，或②

1 2 ≤x＜2 2x-1+2-x≤3

，或 ③

x≥2 2x-1+x-2≤3

．
解①求得 0≤x＜

1

2

；解②求得

1

2

≤x＜2；解③求得x=2．
综上可得，0≤x≤2，即不等式的解集为[0，2]．
（Ⅱ）∵当x∈[1，2]时，f（x）≤3恒成立，
即|x-2a|≤3-|2x-1|=4-2x，
故2x-4≤2a-x≤4-2x，即 3x-4≤2a≤4-x．
再根据 3x-4的最大值为6-4=2，4-x 的最小值为4-2=2，
∴2a=2，∴a=1，
即a的范围为{1}．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．