Question

5．已知函数f（x）=$\frac{a+lnx}{x}$在x=1处取得极值．
（1）求a的值，并讨论函数f（x）的单调性；
（2）当x∈[1，+∞）时，f（x）≥$\frac{m}{1+x}$恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为m≤$\frac{（1+x）（1+lnx）}{x}$，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出m的范围即可．

解答 解：（1）由题意得f′（x）=$\frac{1-a-lnx}{{x}^{2}}$，
所以f'（1）=1-a=0即a=1，∴f′（x）=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$，
令f'（x）＞0，可得0＜x＜1，令f'（x）＜0，可得x＞1，
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
（2）由题意要使x∈[1，+∞）时，f（x）≥$\frac{m}{1+x}$恒成立，
即m≤$\frac{（1+x）（1+lnx）}{x}$，记h（x）=$\frac{（1+x）（1+lnx）}{x}$，则m≤[h（x）]_min，
h′（x）=$\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$，又令g（x）=x-lnx，
则g′（x）=1-$\frac{1}{x}$，又x≥1，所以g′（x）=1-$\frac{1}{x}$≥0，
所以g（x）在[1，+∞）上单调递增，
即g（x）≥g（1）=1＞0，
∴h′（x）=$\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$＞0，
即h（x）在[1，+∞）上单调递增，
所以[h（x）]_min=h（1）=2，
∴m≤2．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道综合题．