Question

已知y=f（x）定义在R上的单调函数，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x、y∈R，有f（x+y）=f（x）·f（y），设数列{a_n}满足a₁=f（0），且（n∈N*）．
（Ⅰ）求通项公式a_n的表达式；
（Ⅱ）令，S_n=b1+b2+…+bn，，试比较S_n与的大小，并加以证明．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意，令y=0，x＜0，得f（x）[1﹣f（0）]=0，
∵当x＜0时，f（x）＞1，∴a₁=f（0）=1
由递推关系知f（a_n+1）?f（﹣2﹣a_n）=1，即f（a_n+1﹣2﹣a_n）=f（0），
∵f（x）在R上单调，∴a_n+1﹣a_n=2，（n∈N*），
又a₁=1，∴a_n=2n﹣1．
（Ⅱ）=，
∴=，

=，
，
∴欲比较S_n与的大小，只需比较4ⁿ与2n+1的大小．
∵4ⁿ=（1+3）ⁿ=C_n⁰+C_n¹?3+…+C_nⁿ?3n≥1+3n＞2n+1，
∴S_n＞．