Question

11、若不等式x²-2ax+a＞0对x∈R恒成立，则关于t的不等式a^2t+1＜a^t2+2t-3的解集为

（-2，2）

Answer 1

分析：由不等式x²-2ax+a＞0对x∈R恒成立，我们可以得到0＜a＜1，则我们可以根据指数函数的单调性，将不等式a^2t+1＜a^t2+2t-3转化成一个关于t的整式不等式，解不等式即可得到不等式a^2t+1＜a^t2+2t-3的解集．

解答：解：∵若不等式x²-2ax+a＞0对x∈R恒成立
∴△=4a²-4a＜0
即0＜a＜1
此时，y=a^x为减函数
又∵a^2t+1＜a^t2+2t-3
∴2t+1＞t²+2t-3
即t²-4＜0
解得-2＜t＜2
故不等式a^2t+1＜a^t2+2t-3的解集为（-2，2）
故答案为：（-2，2）

点评：函数y=a^x和函数y=log_ax，在底数a＞1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为增函数，当底数0＜a＜1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为减函数，故我们可以根据指数函数和对数函数的性质，将指数不等式或对数不等式转化为整式不等式．