(1)因为
底面
,
所以,∠
SBA是
SB与平面
ABCD所成的角…………………….……….1分
由已知∠
SBA=45°,所以
AB=
SA=1易求得,
AP=
PD=
,……………………….2分
又因为
AD=2,所以
AD2=
AP2+
PD2,所以
.………….…….3分
因为SA⊥底面ABCD,
平面
ABCD,
所以
SA⊥
PD, …………….……………………….…....4分
由于
SA∩
AP=
A 所以
平面
SAP.…………………………….5分
(2)设
Q为
AD的中点,连结
PQ, ………………….………6分
由于
SA⊥底面
ABCD,且
SA平面
SAD,则平面
SAD⊥平面
PAD….7分
因为
PQ⊥
AD,所以
PQ⊥平面
SAD过
Q作
QR⊥
SD,垂足为
R,连结
PR,由三垂线定理可知
PR⊥
SD,
所以∠
PRQ是二面角
A-
SD-
P的平面角. …9分
容易证明△
DRQ∽△
DAS,则
因为
DQ= 1,
SA=1,
,所以
….……….10分
在Rt△
PRQ中,因为
PQ=
AB=1,所以
………11分
所以二面角
A-
SD-
P的大小为
.……………….…….…….12分
或:过A在平面SAP内作
,且垂足为H,在平面SAD内作
,且垂足为E,连接HE,
平面
SAP。
平面
SPD…………7分
∴HE为AE在平面SPD内的射影,∴由三垂线定理得
从而
是二面角
A-
SD-
P的平面角……………………………….9分
在
中,
,在
中,
,
. ………………………………….11分
即二面角
的大小为
……………………………12分
解法二:因为
底面
,
所以,∠
SBA是
SB与平面
ABCD所成的角…………………………………1分
由已知∠
SBA=45°,所以
AB=
SA=1
建立空间直角坐标系(如图)
由已知,P为BC中点.
于是A(0,0,0)、B(1,0,0) 、P(1,1,0)、D(0,2,0)、S(0,0,1)
……..….2分
(1)易求得
,
,
..………….…....3分
因为
,
=0。
所以
,
由于
AP∩
SP=
P,所以
平面
SAP ………….……………..….…5分
(2)设平面SPD的法向量为
由
,得
解得
,
所以
……………….…………….……….8分
又因为AB⊥平面SAD,所以
是平面SAD的法向量,易得
…9分
所以
….………………….11分
所求二面角
的大小为
. ……………….……….…… 12分