Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-

ax

x+1

（a＞0）．
（1）实数a为何值时，使得f（x）在（0，+∞）内单调递增；
（2）证明：（

2013

2014

）²⁰¹⁴＜

1

e

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，要使得f（x）在（0，+∞）内单调递增，只需当x＞0时，f′（x）≥0恒成立，即可求出实数a的值；
（2）要证明：（

2013

2014

）²⁰¹⁴＜

1

e

，只需证明(

2014

2013

)2014＞e，两边取自然对数，由（1）知f（x）=ln（1+x）-

x

x+1

在（0，+∞）内单调递增，即可得出结论．

解答： （1）解：因为f（x）=ln（1+x）-

ax

x+1

（a＞0），
所以f′（x）=

x+1-a

(x+1)2

由题知，要使得f（x）在（0，+∞）内单调递增，只需当x＞0时，f′（x）≥0恒成立
即x+1-a≥0当x＞0时恒成立，则a≤1，
又因a＞0，
所以a的取值范围为（0，1]．…（6分）
（2）证明：要证明：（

2013

2014

）²⁰¹⁴＜

1

e

，只需证明(

2014

2013

)2014＞e，
两边取自然对数得：2014•ln

2014

2013

＞1，
∴ln（1+

1

2013

）-

1

2013+1

＞0
由（1）知f（x）=ln（1+x）-

x

x+1

在（0，+∞）内单调递增，
而

1

2013

＞0，则f（

1

2013

）＞f（0）=0
令x=

1

2013

得f（

1

2013

）=ln（1+

1

2013

）-

1

2013+1

，
则f（

1

2013

）=ln（1+

1

2013

）-

1

2013+1

＞0，即：（

2013

2014

）²⁰¹⁴＜

1

e

…（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．