Question

已知函数f（x）=x³+ax²-（2a+3）x+a²（a∈R）．
（1）若函数f（x）在区间（1，+∞）上有极小值点，求实数a的取值范围；
（2）求所有的实数a，使得f（x）＞0对x∈[-1，1]恒成立．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数与函数极值的关系得令f'（x）=0，得x=1或x=-

2a+3

3

，使函数f（x）在区间（1，+∞）上有极小值点，则-

2a+3

3

＞1，解得即可；
（2）使得f（x）＞0对x∈[-1，1]恒成立，等价于x∈[-1，1]时，f（x）_min＞0，利用导数分类讨论求得f（x）_min，解不等式解得结论．

解答： 解：（1））f'（x）=3x²+2ax-（2a+3）=（3x+2a+3）（x-1），
令f'（x）=0，得x=1或x=-

2a+3

3

，
使函数f（x）在区间（1，+∞）上有极小值点，则-

2a+3

3

＞1，
解得a＜-3；
（2）由题意知，x∈[-1，1]时，f（x）_min＞0
①当-

2a+3

3

≥1时，即a≤-3时f（x）在x∈[-1，1]上单调递增，
 f（x）_min=f（-1）=a²+3a+2＞0，解得a＞-1或a＜-2，由此得：a≤-3；
②当则-1＜-

2a+3

3

＜1时，即-3＜a＜0，f（x）在[-1，-

2a+3

3

]上为增函数，
在[-

2a+3

3

，1]上为减函数，所以f（x）_min=min{f（-1），f（1）}
得

f(-1)=a2+3a+2＞0 f(1)=a2-a-2＞0

⇒a＞2或a＜-2
由此得-3＜a＜-2；
③当-

2a+3

3

≤-1时，即a≥0，f（x）在x∈[-1，1]上为减函数，
所以f（x）_min=f（1）=a²-a-2＞0
解得a＞2或a＜-1．
综上所述得a＞2．

点评：本题主要考查函数的极值与导数的关系，函数的最值与导数的关系及恒成立问题的等价转化能力，分类讨论思想的运用能力，属难题．