Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．满足b（sinB-

2

sinC）=（a+c）（sinA-sinC），

AB

•

BC

≥0．
（1）求A的值；
（2）若a=

2

．求b-

2

c的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理,余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用正弦定理和余弦定理即可得出；
（2）利用向量的夹角公式、正弦定理、两角和差的正弦余弦公式及其余弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）由b（sinB-

2

sinC）=（a+c）（sinA-sinC）可得b(b-

2

c)=(a+c)(a-c)，
化为b2+c2-a2=

2

bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

2

2

，
又A∈（0，π），∴A=

π

4

．
（2）∵

AB

•

BC

≥0，∴B为钝角或直角．）
于是0＜A+C≤

π

2

，又A=

π

4

，∴0＜C≤

π

4

，
由正弦定理可知，2R=

a

sinA

=

2

2 2

=2，
∴b-

2

c=2sinB-2

2

sinC=2sin(

3π

4

-C)-2

2

sinC=2cos(C+

π

4

)，
又0＜C≤

π

4

，∴

π

4

＜C+

π

4

≤

π

2

，
∴0≤cos(C+

π

4

)＜

2

2

，∴2cos(C+

π

4

)∈[0，

2

)．

点评：本题综合考查了正弦定理和余弦定理、向量的夹角公式、两角和差的正弦余弦公式及其余弦函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．