Question

如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M（点A对应实数0，点B对应实数1），如图①；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图②；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），在图形变化过程中，图①中线段AM的长度对应于图③中的弧ADM的长度，如图③，图③中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的象就是n，记作f（m）=n．

给出下列命题：①f（

1

4

）=1；②f（

1

2

）=0；③f（x）是奇函数；④f（x）在定义域上单调递增，则所有真命题的序号是

 

．（填出所有真命题的序号）

Answer 1

考点：映射

专题：阅读型

分析：①m=

1

4

时，点M恰好处在左半圆弧的中点上，求出直线AM的方程得出N的横坐标；
②当m=

1

2

时，M位于圆与y轴的下交点上，直线为x=0，由此判断命题正确；
③由函数的定义域判断命题不正确；
④由图3知点M的运动规律，得出函数值的变化情况和单调性；

解答： 解：：①当m=

1

4

时，M位于左半圆弧的中点上，M点坐标为（-

1

2π

，1-

1

2π

），
直线AM方程为y=x+1，f（

1

4

）=-1．命题①错误；
②当m=

1

2

时，M位于圆与y轴的下交点上，直线为x=0，
∴f（

1

2

）=0．命题②正确；
③∵函数的定义域为（0，1），
∴f（x）是非奇非偶函数．命题③错误；
④由图3知，当m由0到1时，M由A运动到B，N的坐标逐渐增大，
∴f（x）在定义域上单调递增．命题④正确．
故正确的答案是②④．
故答案为：②④．

点评：本题考查映射的概念，关键是对题意的理解，是中档题．