Question

已知两个函数f（x）=8x²+16x-k，g（x）=2x³+5x²+4x．其中k实数．若对?x₁∈[-3，3]，?x₂∈[-3，3]，使f（x₁）≤g（x₂），则k的取值范围

 

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：若对?x₁∈[-3，3]，?x₂∈[-3，3]，使f（x₁）≤g（x₂），只需在∈[-3，3]上f（x）_min≤g（x）_min即可．分别利用二次函数的图象与性质与导数求出两个最小值，列不等式求解即可．

解答： 解：若对?x₁∈[-3，3]，?x₂∈[-3，3]，使f（x₁）≤g（x₂），
只需在[-3，3]上f（x）_min≤g（x）_min，即可．
f（x）=8x²+16x-m=8（x+1）²-m-8，f（x）_min=f（-1）=-m-8
g（x）=2x³+5x²+4x，g′（x）=6x²+10x+4=（x+1）（6x+4），
在x∈（-3，-1）∪（

2

3

，3]，g′（x）＞0，（-3，-1）与（

2

3

，3]是g（x）单调递增区间．
在x∈（-1，

2

3

），g′（x）＜0，（-1，

2

3

]是g（x）单调递减区间．
所以g（x）的极小值为g（-

2

3

）=-

28

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，
又g（-3）=-21，所以g（x）_min=-21
所以-m-8≤-21，解得m的范围为m≥13．
故答案为：[13，+∞）．

点评：本题考查函数的最值及应用，将问题转化为f（x）_min≤g（x）_min是关键．考查逻辑推理、转化计算等能力．