Question

设函数f（x）=cos（2x-

π

3

）-2sin²x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最大值及相应的x值．

Answer 1

考点：正弦函数的定义域和值域,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（I）利用两角和差的正弦余弦公式、倍角公式、周期公式即可得出；
（II）利用正弦函数的单调性有界性即可得出．

解答： 解：（I）

f(x)=cos(2x- π 3 )-2sin2x= 1 2 cos2x+ 3 2 sin2x-(1-cos2x)

=

3

2

cos2x+

3

2

sin2x-1
=

3

sin(2x+

π

6

)-1．
∴T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）∵0≤x≤

π

2

，∴

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

．
∴当2x+

π

3

=

π

2

，即x=

π

12

时，f（x）有最大值

3

-1．

点评：本题考查了两角和差的正弦余弦公式、倍角公式、周期性、正弦函数的单调性有界性，属于中档题．