Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，CD=PD，∠ADP=90°，∠CDP=120°，E，F，G分别为PB，BC，AP的中点．
（Ⅰ）求证：平面EFG∥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角D-EF-B的平面角的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）欲证平面EFG∥平面PCD，可根据面面平行的判定定理进行证明，即证明EG∥平面PCD，EF∥平面PCD；
（Ⅱ）取PC中点M，连接EM，DM，根据二面角的平面角的定义证明∠DEM就是二面角D-EF-B的平面角的补角，在△DEM中，即可求出二面角B-EF-D的平面角的大小．

解答： （Ⅰ）证明：因为E，G分别为BP，AP中点，
所以EG∥AB，
又因为ABCD是正方形，AB∥CD，所以EG∥CD，
所以EG∥平面PCD．
因为E，F分别为BP，BC中点，所以EF∥PC，
所以EF∥平面PCD．
所以平面EFG∥平面PCD．
（Ⅱ）解：取PC中点M，连接EM，DM，则EM∥BC，
又AD⊥平面PCD，AD∥BC，所以BC⊥平面PCD，
所以EM⊥平面PCD，所以EM⊥DM，EM⊥PC．
因为CD=DP，则DM⊥PC，所以 DM⊥平面PCB．
又因为EF∥PC，所以EF⊥EM，
所以∠DEM就是二面角D-EF-B的平面角的补角．
不妨设AD=CD=PD=2，则EM=1，DM=1，∠DEM=

π

4

．
所以二面角D-EF-B的平面角的大小为

3

4

π．

点评：本题主要考查了平面与平面平行的判定，以及与二面角有关的立体几何综合题，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．