Question

已知△ABC是锐角三角形，且sin（B-

π

6

）cos（B-

π

3

）=

1

2

．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若tanAtanC=3，求A、C的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）通过两角和与差的三角函数化简已知表达式，通过三角形是锐角三角形，即可求角B的值；
（Ⅱ）利用第一问的结果，以及三角形是锐角三角形，通过两角和的正切函数，推出tanA、tanC的方程，结合tanAtanC=3，即可求出A、C的正切值，然后求出角A、C．

解答： 解：（Ⅰ）∵sin（B-

π

6

）cos（B-

π

3

）
=(

3

2

sinB-

1

2

cosB)(

1

2

cosB+

3

2

sinB)
=

3

4

sin2B-

1

4

cos2B
=sin2B-

1

4

=

1

2

，
又∵△ABC是锐角三角形，
∴sinB=

3

2

．
∴B=

π

3

，
角B的值为

π

3

；
（Ⅱ）∵B=

π

3

，∴A+C=

2π

3

，
∵△ABC是锐角三角形，
∴tanA＞0，tanC＞0，
∴tan（A+C）=

tanA+tanC

1-tanAtanC

=-

3

∴tanA+tanC=

3

tanAtanC-

3

=2

3

…①，
∵tanAtanC=3…②，
解①②得tanA=tanC=

3

，∴A=C=

π

3

．

点评：本题考查两角和与差的三角函数的应用，基本知识的考查．注意三角形的特征是解题的关键．