Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosA=2c+

2

a．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）求sinA+

2

sinC的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，代入已知等式左边，整理后得到关系式，再利用余弦定理表示出cosB，将得出的关系式代入求出cosB的值，即可确定出角B的度数；
（Ⅱ）根据B的度数求出A+C的度数，用A表示出C，代入所求式子，利用两角和与差的正弦函数公式公式，整理后根据cosA的值域即可确定出原式的范围．

解答： 解：（Ⅰ）将cosA=

b2+c2-a2

2bc

代入已知等式得：2b•

b2+c2-a2

2bc

=2c+

2

a，
整理得：b²+c²-a²=2c²+

2

ac，即a²+c²-b²=-

2

ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=-

2

2

，
则B=

3π

4

；
（Ⅱ）∵B=

3π

4

，∴A+C=

π

4

，即C=

π

4

-A，
∴sinA+

2

sinC=sinA+

2

sin（

π

4

-A）=sinA+

2

（

2

2

cosA-

2

2

sinA）=sinA+cosA-sinA=cosA，
∵0＜A＜

π

4

，
∴

2

2

＜cosA＜1，
则sinA+

2

sinC的范围为（

2

2

，1）．

点评：此题考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及余弦函数的值域，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．