Question

已知双曲线E：

x2

m

-

y2

12

=1的离心率为2，过点P（0，-2）的直线l与双曲线E交于不同的两点M，N．
（I）当

PM

=2

PN

求直线l的方程；
（II）设t=

OM

•

OP

+

OM

•

PN

（O为坐标原点），求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由题设知a²=m，b²=12，c²=m+12，e2=

c2

a2

=

m+12

m

=4，由此得到双曲线E的方程为

x2

4

-

y2

12

=1，设直线l的方程为：y=kx-2，点M（x₁，kx₁-2），N（x₂，kx₂-2），再由根的判别式和韦达定理，结合题设条件能求出直线l的方程．
（II）t=

OM

•

OP

+

OM

•

PN

=

OM

•

ON

=12+

40

k2-3

，再由0≤k²＜4，且k²≠3，能求出实数t的取值范围．

解答：解：（I）∵双曲线E：

x2

m

-

y2

12

=1的离心率为2，
∴a²=m，b²=12，c²=m+12，e2=

c2

a2

=

m+12

m

=4，
∴m=4，双曲线E的方程为

x2

4

-

y2

12

=1，
当直线l与x轴垂直时，直线l与双曲线没有交点，
设直线l的方程为：y=kx-2，
点M（x₁，kx₁-2），N（x₂，kx₂-2），
当

PM

=2

PN

时，x₁=2x₂，

x1+x2=3x2 x1x2=2x22

，
∴x1x2=2(

x1+x2

3

)2，①
y=kx-2代入

x2

4

-

y2

12

=1，得：（3-k²）x²+4kx-16=0，
3-k²≠0，且△=16k²-4（3-k²）（-16）＞0，
即-2＜k＜2，且k≠±

3

，
∵

x1+x2= 4k k2-3 x1x2= 16 k2-3

，
代入①得9×

16

k2-3

=2（

4k

k2-3

）²，解得k=±

3 21

7

，
满足△＞0，所以直线l的方程为y=±

3 21

7

x-2．
（II）t=

OM

•

OP

+

OM

•

PN

=

OM

(

OP

+

PN

)=

OM

•

ON

=（k²+1）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4
=(k2+1)•

16

k2-3

-2k•

4k

k2-3

+4
=12+

40

k2-3

，
∵0≤k²＜4，且k²≠3，
∴

40

k2-3

＞40，或

40

k2-3

≤-

40

3

，
∴t＞52，或t≤-20．

点评：本题考查直线方程的求法和求实数的取值范围，具体涉及到双曲线的简单性质、向量知识、直线和圆锥曲线的位置关系等基本知识点，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．