Question

在△ABC中，已知（a+c）（sinA-sinC）-（a-b）sinB=0，其中A、B、C分别为△ABC的内角A、B、C所对的边．求：
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求满足不等式sinA+sinB≥的角A的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）由正弦定理将已知等式化简，可得ab=a²+b²-c²，从而算出cosC=，结合C为三角形的内角，即可得到角C的大小；
（II）根据sinB=sin（A+C），利用三角恒等变换公式化简不等式sinA+sinB≥，可得sin（A）≥．再结合正弦函数的图象与性质，即可算出满足条件的角A的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）由（a+c）（sinA-sinC）-（a-b）sinB=0，
∴根据正弦定理，得（a+c）（a-c）=（a-b）b，即ab=a²+b²-c²        …（4分）
∴cosC==，
由0＜C＜π，可得C=  …（6分）
（Ⅱ）∵sinA+sinB≥即sinA+sin（A+C）≥，…（7分）
即sinA+sinA+cosA≥，可得（sinAcos+cosAsin）≥，
∴sin（A），即sin（A）≥，…（9分）
∴≤A+≤，可得≤A≤．…（12分）
点评：本题给出三角形的边角关系式，求角C的大小并依此求满足不等式的A的范围，着重考查了正余弦定理、诱导公式和三角恒等变换等知识，属于中档题．