Question

4．己知两点A（2，0），B（-2，0），直线l过点B且与x轴垂直，点C是l上异于点B的动点，直线BP垂直线段OC并交线段AC于点P，记点P的轨迹为曲线Γ．
（1）求曲线Γ的方程；
（2）过点D（-1，0）的直线与曲线 Γ交于M，N两点，直线AM，AN分别与l交于E，F两点．当△AEF的面积是△AMN的面积的2倍时，求直线MN的方程．

Answer 1

分析 （1）设点C（-2，m）（m≠0），则k_OC=-$\frac{m}{2}$，k_AC=$-\frac{m}{4}$，直线BP的方程为：y=$\frac{2}{m}$（x+2），直线AC的方程为：y=-$\frac{m}{4}$（x-2），联立消去m解出即可．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），（y₁≠y₂），由题意可设直线MN的方程为x=ty-1，与椭圆方程联立化为（m²+2）y²-2my-3=0．直线AM的方程为：$y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$（x-2），由x_E=-2，可得y_E．同理可得：y_F=$\frac{-4{y}_{2}}{m{y}_{2}-3}$．可得|EF|=|y_E-y_F|．S_△AEF=$\frac{1}{2}|BA||EF|$，S_△AMN=$\frac{1}{2}|AD||{y}_{1}-{y}_{2}|$．利用S_△AEF=2S_△AMN，即可得出．

解答 解：（1）设点C（-2，m）（m≠0），则k_OC=-$\frac{m}{2}$，k_AC=$-\frac{m}{4}$，
∴直线BP的方程为：y=$\frac{2}{m}$（x+2），直线AC的方程为：y=-$\frac{m}{4}$（x-2），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{m}（x+2）}\\{y=-\frac{m}{4}（x-2）}\end{array}\right.$，消去m可得$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
∴曲线Γ的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．（y≠0）．
（2）由题意可设直线MN的方程为x=ty-1，联立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty-1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为（m²+2）y²-2my-3=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），（y₁≠y₂），则y₁+y₂=$\frac{2m}{{m}^{2}+2}$，y₁y₂=-$\frac{3}{{m}^{2}+2}$．
直线AM的方程为：$y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$（x-2），由x_E=-2，可得y_E=-$\frac{4{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$=$\frac{-4{y}_{1}}{m{y}_{1}-3}$．
同理可得：y_F=$\frac{-4{y}_{2}}{m{y}_{2}-3}$．
∴|EF|=|y_E-y_F|=$|\frac{4{y}_{2}}{m{y}_{2}-3}-\frac{4{y}_{1}}{m{y}_{1}-3}|$=$\frac{12|{y}_{1}-{y}_{2}|}{|{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}-3m（{y}_{1}+{y}_{2}）+9|}$，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}|BA||EF|$=$\frac{24|{y}_{1}-{y}_{2}|}{|{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}-3m（{y}_{1}+{y}_{2}）+9|}$，S_△AMN=$\frac{1}{2}|AD||{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\frac{3}{2}|{y}_{1}-{y}_{2}|$．
∵S_△AEF=2S_△AMN，
∴$\frac{24|{y}_{1}-{y}_{2}|}{|{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}-3m（{y}_{1}+{y}_{2}）+9|}$=3|y₁-y₂|，化为$|-\frac{3{m}^{2}}{{m}^{2}+2}-\frac{6{m}^{2}}{{m}^{2}+2}+9|$=8，
化简可得：$\frac{18}{{m}^{2}+2}$=8，解得m=$±\frac{1}{2}$，
∴直线MN的方程为：y=±2（x+1）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题