Question

19．已知椭圆C的中心在原点，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率e=$\frac{1}{2}$，且经过点M（1，$\frac{3}{2}$）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l经过椭圆C的右焦点F₂，且与椭圆C交于A，B两点，使得$\overrightarrow{{F_1}A}•\overrightarrow{{F_1}B}$=1，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，由离心率$e=\frac{1}{2}$，且经过点$M（{1，\frac{3}{2}}）$，能求出a²=4，b²=3，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设直线l的方程为y=k（x-1），代入椭圆C的方程，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出直线l的方程．

解答 解：（1）设椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，
由题意得$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$且$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$，
解得a²=4，b²=3，
所以椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）设直线l的方程为y=k（x-1），代入椭圆C的方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
化简得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$①
又${F_1}（{-1，0}），\overrightarrow{{F_1}A}•\overrightarrow{{F_1}B}=（{{x_1}+1，{y_1}}）（{{x_2}+1，{y_2}}）=（{{x_1}+1}）（{{x_2}+1}）+{y_1}{y_2}$，
其中y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）．
所以$\overrightarrow{{F_1}A}•\overrightarrow{{F_1}B}=（{{x_1}+1}）（{{x_2}+1}）+{k^2}（{{x_1}-1}）（{{x_2}-1}）$
=$（{1+{k^2}}）{x_1}{x_2}+（{1-{k^2}}）（{{x_1}+{x_2}}）+1+{k^2}$，
把①代入上式可解得k=±2，
所以直线l的方程为y=±2（x-1）．

点评 本题考查椭圆方程、直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、向量的数列积的性质的合理运用．