Question

10．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左焦点F为圆x²+y²+2x=0的圆心，且椭圆上的点到点F的距离的最小值为$\sqrt{2}-1$．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A，B，点$M（{-\frac{5}{4}，0}）$，求$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$的值．

Answer 1

分析 （1）先求出圆心坐标，再根据题意求出a、b，得椭圆的标准方程．
（2）根据直线的斜率是否存在，分情况设直线方程，再与椭圆方程联立方程组，设出交点坐标，结合韦达定理根与系数的关系，利用向量坐标运算验证．

解答 解：（1）∵圆x²+y²+2x=0的圆心为（-1，0），
依据题意c=1，a-c=$\sqrt{2}$-1，
∴a=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
∴椭圆的标准方程是：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）①当直线l与x轴垂直时，l的方程是：x=-1，
 得A（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）•（$\frac{1}{4}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{1}{16}$-$\frac{1}{2}$=-$\frac{7}{16}$；
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为 y=k（x+1），
代入椭圆方程，可得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（x₁+$\frac{5}{4}$，y₁）•（x₂+$\frac{5}{4}$，y₂）
=x₁x₂+$\frac{5}{4}$（x₁+x₂）+$\frac{25}{16}$+k²（x₁x₂+x₁+x₂+1）
=（1+k²）x₁x₂+（k²+$\frac{5}{4}$）（x₁+x₂）+k²+$\frac{25}{16}$
=（1+k²）（$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$）+（k²+$\frac{5}{4}$）（-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$）+k²+$\frac{25}{16}$
=$\frac{-4{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{25}{16}$=-2+$\frac{25}{16}$=-$\frac{7}{16}$
综上$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=-$\frac{7}{16}$．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题及向量坐标运算．根据韦达定理，巧妙利用根与系数的关系设而不求，是解决本类问题的关键．