Question

18．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，且|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{AB}$|，则向量$\overrightarrow{CA}$在$\overrightarrow{CB}$方向上的投影为$\frac{3}{2}$．．

Answer 1

分析 根据圆的性质和向量的平行四边形法则可求出|$\overrightarrow{CA}$|和向量$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$的夹角．

解答 解：作直径AD，连结BD，CD．则2$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{DA}$．
∵2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∵AD是直径，∴∠ACD=90°．
∴四边形ABDC是矩形，
∵|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{AB}$|=1，∴△ABO是等边三角形，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°，AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}=\sqrt{3}$．
∴向量$\overrightarrow{CA}$在$\overrightarrow{CB}$方向上的投影为AC×cos30°=$\frac{3}{2}$．
故答案为$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，利用圆的性质得出AC的长与向量的夹角是关键．