Question

2．已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[$\frac{1}{e}$，1]，总存在唯一的y∈[-1，1]，使得lnx-x+1+a=y²e^y成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{e}$，e]
• B． （$\frac{2}{e}$，e]
• C． （$\frac{2}{e}$，+∞）
• D． （$\frac{2}{e}$，e+$\frac{1}{e}$）

Answer 1

分析 设f（x）=lnx-x+1+a，g（y）=y²e^y，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值，建立条件关系进行求解即可．

解答 解：设f（x）=lnx-x+1+a，当x∈[$\frac{1}{e}$，1]时，f′（x）=$\frac{1-x}{x}$＞0，f（x）是增函数，
∴x∈[$\frac{1}{e}$，1]时，f（x）∈[a-$\frac{1}{e}$，a]，
设g（y）=y²e^y，
∵对任意的x∈[$\frac{1}{e}$，1]，总存在唯一的y∈[-1，1]，使得lnx-x+1+a=y²e^y成立，
∴[a-$\frac{1}{e}$，a]是g（y）的不含极值点的单值区间的子集，
∵g′_y（y）=y（2+y）e^y，∴y∈[-1，0）时，
若g′_y（y）＜0，g（y）=y²e^y是减函数，
若y∈（0，1]，g′_y（y）＞0，g（y）=y²e^y是增函数，
∵g（-1）=$\frac{1}{e}$＜e=g（1），
∴[a-$\frac{1}{e}$，a]⊆（$\frac{1}{e}$，e]，
∴$\frac{2}{e}$＜a≤e；
故选：B

点评 本题主要考查方程恒成立问题，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和取值范围是解决本题的关键．