Question

12．分别求出符合下列要求的不同排法的种数．（用数字作答）
（1）7人排成一排，甲、乙两人不相邻；
（2）从7人中选出4人参加4×100米接力赛，甲、乙两人都必须参加，但甲不跑第一棒，乙不跑第四棒．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由于甲、乙不相邻，运用插空法分析，先安排甲乙之外的5人，形成了6个空位，再从这6个间隔选2个插入甲乙，由分步计数原理计算即可答案．
（2）先分步，再分类，第一步，选4人参见比赛，由于甲、乙两人都必须参加，再选2人，第二步，安排顺序，若甲跑第四棒和甲不跑第四棒，问题得以解决．

解答 解：（1）根据题意，分2步分析：先安排除甲乙之外的5人，有A₅⁵=120种不同的顺序，排好后，形成6个空位，
在6个空位中，选2个安排甲乙，有A₆²=30种选法，
则甲乙不相邻的排法有120×30=3600种，
（2）第一步，选4人参见比赛，由于甲、乙两人都必须参加，再选2人有C₅²=10种，
第二步，安排顺序，若甲跑第四棒，则有A₃³=6种，
若甲不跑第四棒，则甲有2种，乙也有2种，剩下的2人任意，故2×2×2=8种，
根据分类计数原理，有6+8=14种，
再根据分步计数原理可得，共有10×14=140种．

点评 本题考查排列、组合的应用，涉及不相邻问题，处理此类问题，需要运用插空法，