Question

1．已知a∈R，则“a＜1”是“|x-2|+|x|＞a恒成立”的（　　）

• A． 充分而不必要条件
• B． 必要而不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 要判断“a＜1”是“|x-2|+|x|＞a恒成立”的条件，我们可先构造函数y=|x-2|+|x|并求出函数的值域，然后转化为一个恒成立的判断与性质问题，最后结合充要条件的定义，进行判断．

解答 解：函数y=|x-2|+|x|的值域为[2，+∞）
则当a＜1时，|x-2|+|x|＞a恒成立
反之若，|x-2|+|x|＞a，则说明a小于函数y=|x-2|+|x|的最小值2恒成立，即a＜2
故“a＜1”是“|x-2|+|x|＞a恒成立”的充分不必要条件
故选：A．

点评 判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．