Question

16．已知圆x²+y²=4的两弦AB，CD交于点P（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$），且$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{CD}$=0，则|$\overrightarrow{AD}$$+\overrightarrow{CB}$|的值为2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由于直线AB、CD均过P点，故可以考虑设两个直线的方程为点斜式方程，但由于点斜式方程不能表示斜率不存在的情况，故要先讨论斜率不存在和斜率为0的情况，然后利用弦长公式，计算即可得到所求值．

解答 解：|$\overrightarrow{AD}$$+\overrightarrow{CB}$|=|$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{PD}$+$\overrightarrow{CP}$+$\overrightarrow{PB}$|=|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CD}$|
=$\sqrt{{\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{CD}}^{2}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{CD}}^{2}}$，
当AB的斜率为0或不存在时，
可求得AB²+CD²=（$\sqrt{10+2\sqrt{5}}$）²+（$\sqrt{10-2\sqrt{5}}$）²=20，
当AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为y-$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$=k（x-$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$），
直线CD的方程为y-$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$），
由弦长公式可得：AB²=4•（r²-d²）=4（4-$\frac{（\frac{\sqrt{5}+1}{2}-\frac{\sqrt{5}-1}{2}k）^{2}}{1+{k}^{2}}$）
=$\frac{（10+2\sqrt{5}）{k}^{2}+8k+10-2\sqrt{5}}{1+{k}^{2}}$，
将k换为-$\frac{1}{k}$，可得CD²=$\frac{（10-2\sqrt{5}）{k}^{2}-8k+10+2\sqrt{5}}{1+{k}^{2}}$，
∴AB²+CD²=20，
即有|$\overrightarrow{AD}$$+\overrightarrow{CB}$|=2$\sqrt{5}$．
故答案为：2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，直线方程的应用，点到直线的距离公式，考查转化思想与计算能力．