Question

6．已知实数x，y满足x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，则x$\sqrt{1+{y}^{2}}$的最大值为$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，最小值为-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 由题意整体凑出可用基本不等式的形式，结合分类讨论和不等式的性质可得答案．

解答 解：∵实数x，y满足x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
∴当x为正数时x$\sqrt{1+{y}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}（1+{y}^{2}）}$
=$\sqrt{2•{x}^{2}•\frac{1+{y}^{2}}{2}}$≤$\sqrt{2}$•$\frac{{x}^{2}+\frac{1+{y}^{2}}{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
当且仅当x²=$\frac{1+{y}^{2}}{2}$时取等号，
由不等式的性质可得当x为负数时x$\sqrt{1+{y}^{2}}$≥-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
故原式的最大值为$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，最小值为-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$
故答案为：$\frac{3\sqrt{2}}{4}$；-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$

点评 本题考查基本不等式求最值，整体凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．