Question

1．已知函数y=$\frac{{x}^{2}-4x+7}{x-3}$．
①若x＞3，求此函数的最小值；
②若x＜3，求此函数的最大值．

Answer 1

分析 令x-3=t，换元可得y=t+$\frac{4}{t}$+2，分别由不等式的性质和基本不等式求最值可得．

解答 解：令x-3=t，则x=t+3，
换元可得y=$\frac{{x}^{2}-4x+7}{x-3}$
=$\frac{（t+3）^{2}-4（t+3）+7}{t}$
=$\frac{{t}^{2}+2t+4}{t}$=t+$\frac{4}{t}$+2
①当x＞3时，t＞0，∴y=t+$\frac{4}{t}$+2≥2$\sqrt{t•\frac{4}{t}}$+2=6，当且仅当t=$\frac{4}{t}$，即t=2即x=5时，函数的最小值6；
②当x＜3时，t＜0，∴y=t+$\frac{4}{t}$+2≤-2$\sqrt{t•\frac{4}{t}}$+2=-2，当且仅当t=$\frac{4}{t}$即t=-2即x=1时，函数的最大值-2．

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及换元法和分类讨论的思想，属基础题．