Question

17．已知过椭圆的右焦点且斜率为1的直线与椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若椭圆离心率为$\frac{1}{2}$，短轴长为2$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆方程；
（2）求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x轴，离心率e=$\frac{1}{2}$，短轴长为2$\sqrt{3}$，求出a，b，即可求椭圆的方程；
（2）求出直线方程，代入椭圆方程，求得交点的坐标，即可求得弦AB的长．

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，2b=2$\sqrt{3}$，即b=$\sqrt{3}$
又a²-c²=b²=3，
解得a=2，c=1，
即有椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）由右焦点（1，0），可得直线方程为y=x-1，
联立椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，y=x-1得：7x²-8x-8=0，
所以${x_1}+{x_2}=\frac{8}{7}，{x_1}{x_2}=-\frac{8}{7}$，
即有AB=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{\frac{64}{49}-（-\frac{32}{7}）}$=$\frac{24}{7}$．

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆相交时的弦长，解题的关键是确定交点的坐标，属于中档题．