Question

6．已知椭圆C₁和双曲线C₂焦点相同，且离心率互为倒数，F₁，F₂它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F₁PF₂=60°时，则椭圆C₁的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 设椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m，n＞0），由题意可得a²-b²=m²+n²=c²，运用椭圆和双曲线的定义，以及离心率公式，结合条件，化简整理，可得a=3m，c=$\sqrt{3}$m，由离心率公式可得．

解答 解：设椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m，n＞0），
由题意可得a²-b²=m²+n²=c²，
e₁=$\frac{c}{a}$，e₂=$\frac{c}{m}$，由e₁e₂=1，可得am=c²，
设PF₁=s，PF₂=t，由余弦定理可得，
4c²=s²+t²-2st•$\frac{1}{2}$=s²+t²-st，
由椭圆的定义可得s+t=2a，
由双曲线的定义可得，s-t=2m，
可得s=a+m，t=a-m，
即有4c²=（a+m）²+（a-m）²-（a+m）（a-m），
即为4am=a²+3m²，
解得a=m（舍去）或a=3m，
c=$\sqrt{3}$m，
则e₁=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，注意运用定义法和离心率公式是解题的关键，属于中档题．