Question

7．若函数f（x）=-2x³+2tx²+1存在唯一的零点，则实数t的取值范围为t＞-$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 求解导数f′（x）=-6x²+4tx，分类讨论得出极值点，
根据单调性判断极值的大小，即可得出零点的个数．

解答 解：∵函数f（x）=-2x³+2tx²+1，
∴f′（x）=-6x²+4tx=0，
∴x=0，x=$\frac{2t}{3}$
（1）当t=0时，f（x=-2x³+1单调递减，
f（0）=1＞0，f（2）=-15＜0
∴存在唯一的零点，是正数．
（2）当t＞0时，
f′（x）=-6x²+4tx＞0，即0$＜x＜\frac{2t}{3}$
f′（x）=-6x²+4tx＜0，即x＜0，x$＞\frac{2t}{3}$
∴f（x）在（-∞，0），（$\frac{2t}{3}$，+∞）单调递减
在（0，$\frac{2t}{3}$）单调递增
∴极大值f（$\frac{2t}{3}$）＞f（1），极小值f（0）=1＞0，
∴存在唯一的零点，
（3）当t＜0时，
f′（x）=-6x²+4tx＞0，即$\frac{2t}{3}$＜x＜0
f′（x）=-6x²+4tx＜0，即x＜$\frac{2t}{3}$，x＞0
∴f（x）在（-∞，$\frac{2t}{3}$），（0，+∞）单调递减
在（$\frac{2t}{3}$，0）单调递增
∴极小值f（$\frac{2t}{3}$）＜f（1），极大值f（0）=1＞0，
∵只需极小值f（$\frac{2t}{3}$）＞0即可，
$\frac{8{t}^{3}}{27}$+1＞0，且t＜0
∴-$\frac{3}{2}$＜t＜0，
综上：-$\frac{3}{2}$＜t＜0，或t≥0
故答案为：t＞-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的零点，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．