Question

8．函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R）$（ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的部分图象如图所示，如果${x_1}，{x_2}∈（\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}）$，且f（x₁）=f（x₂），则f（x₁+x₂）=（　　）

• A． $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $-\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数图象的对称性，求得 x₁+x₂=$\frac{5π}{6}$，可得f（x₁+x₂）的值．

解答 解：由函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R）$（ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的部分图象，
可得$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$，∴ω=2．
再根据五点法作图可的2•$\frac{π}{6}$+φ=0，∴φ=-$\frac{π}{3}$，f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
在${x_1}，{x_2}∈（\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}）$上，且f（x₁）=f（x₂），则$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=$\frac{\frac{π}{6}+\frac{2π}{3}}{2}$，
∴x₁+x₂=$\frac{5π}{6}$，f（x₁+x₂）=sin（2•$\frac{5π}{6}$-$\frac{π}{3}$）=sin$\frac{4π}{3}$=-sin$\frac{π}{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故选：A．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．