Question

13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c•cosB=2a+b，若△ABC的面积$S=\sqrt{3}（{a+b}）$．
（Ⅰ）求C的度数；
（Ⅱ）求ab的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由余弦定理及已知可得：$2c•\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=2a+b$，整理后可求cosC的值，结合范围C∈（0，π），即可得解C的值．
（Ⅱ）利用三角形面积公式及已知可得$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{3}}}{4}ab$，利用基本不等式即可求得$\sqrt{ab}≥8，ab≥64$，从而得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理可得：$2c•\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=2a+b$，
整理可得：a²+b²-c²=-ab，…3分
故$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=-\frac{1}{2}$，…5分
因为C∈（0，π），故$C=\frac{2π}{3}$…6分
（Ⅱ）因为$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{3}}}{4}ab$，
故$\frac{{\sqrt{3}}}{4}ab=\sqrt{3}（a+b）≥2\sqrt{3}\sqrt{ab}$…10分
化简得$\sqrt{ab}≥8，ab≥64$…11分
当且仅当a=b=8时等号成立．
所以ab的最小值为64．…12分．

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，基本不等式在解三角形中的应用，属于中档题．