Question

3．已知$\left\{\begin{array}{l}x-y+1≥0\\ 7x-y-7≤0\\ x≥0，y≥0\end{array}\right.$表示的平面区域为D，若?（x，y）∈D，2x+y≤a为真命题，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [5，+∞）
• B． [2，+∞）
• C． [1，+∞）
• D． [0，+∞）

Answer 1

分析 设z=2x+y，若?（x，y）∈D，2x+y≤a为真命题，则等价为求z的最大值即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图，
设z=2x+y，若?（x，y）∈D，2x+y≤a为真命题，则等价为求z的最大值，
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直线y=-2x+z，
由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最大，
此时z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{7x-y-7=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{7}{3}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{4}{3}$，$\frac{7}{3}$），
代入目标函数z=2x+y得z=2×$\frac{4}{3}$+$\frac{7}{3}$=5．
即目标函数z=2x+y的最大值为5．
则a≥5，
故选：A．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想转化为求z的最大值是解决此类问题的基本方法．