Question

12．若x，y∈R⁺，xy²=4，则x+2y的最小值，x+y的最小值．

Answer 1

分析 根据条件便可得到$x=\frac{4}{{y}^{2}}$，从而根据三个数的均值不等式可以得到$x+2y=\frac{4}{{y}^{2}}+y+y≥3\root{3}{4}$，并可得出“=”成立的条件，这样便可求出x+2y的最小值，而同理可以求出x+y的最小值．

解答 解：∵x，y∈R⁺，xy²=4；
∴$x=\frac{4}{{y}^{2}}$；
∴$x+2y=\frac{4}{{y}^{2}}+y+y≥3\root{3}{\frac{4}{{y}^{2}}•y•y}=3\root{3}{4}$，当且仅当x=y=$\root{3}{4}$时取“=”；
∴x+2y的最小值为$3\root{3}{4}$；
同理，$x+y=\frac{4}{{y}^{2}}+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}≥3\root{3}{\frac{4}{{y}^{2}}•\frac{y}{2}•\frac{y}{2}}=3$，当且仅当x=1，y=2时取“=”；
∴x+y的最小值为3．

点评 考查基本不等式用于求最值的方法，注意在应用$a+b+c≥3\root{3}{abc}$求a+b+c最小值时，应使得abc为常数，且a，b，c＞0，并会判断“=”成立的条件．