Question

7．已知e是自然对数的底数，函数f（x）的定义域为R，2^f（x）•2^f′（x）＞2，f（0）=8，则不等式$\frac{f（x）-1}{{e}^{ln7-x}}$＞1的解集为（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （0，+∞）
• C． （1，+∞）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 由题意可得到f（x）+f′（x）＞1，而令g（x）=e^x[f（x）-1]，从而可得到g′（x）＞0，这便说明g（x）在R上为增函数，而可求得g（0）=7，从而$\frac{f（x）-1}{{e}^{ln7-x}}＞1$便可得到g（x）＞g（0），这样即可得出原不等式的解集．

解答 解：2^f（x）•2^f′（x）=2^{f（x）+f′（x）}＞2；
∴f（x）+f′（x）＞1；
令g（x）=e^x[f（x）-1]，则g′（x）=e^x[f（x）+f′（x）-1]＞0；
∴g（x）在R上为增函数；
∵f（0）=8；
∴g（0）=f（0）-1=7；
由$\frac{f（x）-1}{{e}^{ln7-x}}＞1$得，$\frac{{e}^{x}[f（x）-1]}{7}＞1$；
∴g（x）＞g（0）；
∴x＞0；
即原不等式的解集为（0，+∞）．
故选：B．

点评 考查指数式的运算，指数函数的单调性，以及构造函数解决问题的方法，根据导数符号判断函数单调性的方法，根据单调性定义解不等式的方法．