Question

17．已知点F₁，F₂分别是双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{24}$=1的左右焦点，P为该双曲线上一点，且|PF₁|=$\frac{4}{3}$|PF₂|，则△F₁PF₂的面积为（　　）

• A． $\frac{24}{49}$
• B． 12
• C． $\frac{12}{49}$
• D． 24

Answer 1

分析 由双曲线解析式确定出a与b的值，利用双曲线的简单性质求出c的值，确定出焦点坐标，求出|F₁F₂|的长，根据已知等式求出|PF₂|与|PF₁|的长，利用勾股定理的逆定理判断出△F₁PF₂为直角三角形，即可求出面积．

解答 解：由双曲线解析式得：a²=1，b²=24，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=5，即F₁（5，0），F₂（-5，0），即|F₁F₂|=10，
∵|PF₁|=$\frac{4}{3}$|PF₂|，
∴设|PF₂|=x，|PF₁|=$\frac{4}{3}$x，
由双曲线性质得到：$\frac{4}{3}$x-x=2，即x=6，
∴|PF₂|=6，|PF₁|=8，
∴∠F₁PF₂=90°，
∴△F₁PF₂的面积为$\frac{1}{2}$×6×8=24，
故选：D．

点评 此题考查了双曲线的简单性质，熟练掌握双曲线的简单性质是解本题的关键．