Question

5．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为偶函数，点P，Q分别为函数y=f（x）图象上相邻的最高点和最低点，且|$\overrightarrow{PQ}$|=$\sqrt{2}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知a=1，b=$\sqrt{2}$，f（$\frac{A}{π}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，求角C的大小．

Answer 1

分析 （1）由条件利用诱导公式、正弦函数的奇偶性，正弦函数的图象和性质求得ω的值，可得函数的解析式．
（2）由条件求得A的值，利用正弦定理求得B的值，利用三角形的内角和求得C的值．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为偶函数，
∴φ=$\frac{π}{2}$，f（x）=$\frac{1}{2}$sin（ωx+$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}$cosωx．
∵点P，Q分别为函数y=f（x）图象上相邻的最高点和最低点，且|$\overrightarrow{PQ}$|=$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{{（\frac{π}{ω}）}^{2}+1}$=$\sqrt{2}$，∴ω=π，函数f（x）=$\frac{1}{2}$cosπx．
（2）∵a=1，b=$\sqrt{2}$，f（$\frac{A}{π}$）=$\frac{1}{2}$cos（π•$\frac{A}{π}$）=$\frac{1}{2}$cosA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，∴cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴A=$\frac{π}{6}$．
△ABC中，由正弦定理可得$\frac{1}{sin\frac{π}{6}}$=$\frac{\sqrt{2}}{sinB}$，求得sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴B=$\frac{π}{4}$ 或B=$\frac{3π}{4}$．
当B=$\frac{π}{4}$时，C=π-A-B=$\frac{7π}{12}$，当B=$\frac{3π}{4}$时，C=π-A-B=$\frac{π}{12}$．

点评 本题主要考查诱导公式、正弦函数的奇偶性，正弦函数的图象和性质，正弦定理的应用，属于中档题．